On a bougé !

Heu, voilà, si vous lisez ce billet, c’est que vous avez trouvé où mon blog habite maintenant, bravo. (Ça veut aussi dire que j’ai pas complètement foiré mes redirections HTTP, ce qui est une bonne nouvelle). Donc, bienvenue dans les nouveaux locaux, j’espère que vous aimez la peinture, n’oubliez pas de mettre vos RSS à jour (NORMALEMENT c’est redirigé depuis l’ancienne adresse, mais je ne sais pas combien de temps ça va rester comme ça, ni même si ça marche « en pratique ») et… et voilà !

Introduction : Théorème à périodicité aléatoire – TPA

Hoplà,

J’ai toujours dans l’idée de faire un billet ou deux ou 12 sur les algos aléatoires, mais comme c’est long et que j’ai pas encore décidé par où attaquer, je vais faire d’autres trucs en attendant, parce que bon, ya pas de raison.

J’introduis donc aujourd’hui une série de Théorèmes à Périodicité Aléatoire, ou TPA – des billets que je vais essayer de faire courts, mais à dates aléatoires (je tiens pas à faire « le théorème de la semaine », ça risque de durer 3 semaines et encore…), présentant un résultat rigolo, éventuellement des éléments de preuve si elle tient dans la contrainte « billet court », probablement majoritairement dans le domaine informatique théorique / combinatoire, mais sait-on jamais, je vais peut-être me retrouver à diverger à un moment…

Ceci est un billet d’annonce – un vrai billet avec un vrai théorème devrait apparaître ici cet après-midi ou demain. Spoiler : ça va parler de graphes.

« Le méta pue », ou Crédibilité des preuves

Il y a quelque temps, une soumission à arXiv a fait pas mal de bruit. arXiv, pour ceux qui ne connaissent pas, est une archive d’articles scientifiques – les auteurs y soumettent en général des versions préliminaires d’articles publiés ailleurs. arXiv fait un peu de modération pour éviter le spam et les trucs vraiment délirants, mais, si je comprends bien, tant que ça a à peu près une tronche d’article scientifique dans les domaines gérés par arXiv, ça passe la modération.

Et, donc, le 26 mai, ya un article intitulé A Polynomial Time Algorithm for the Hamilton Circuit Problem, par Xinwen Jiang, qui est apparu sur arXiv. Dans la description de l’article, il y a une petite phrase : « Our result implies NP=P », c’est à dire « Notre résultat implique que P=NP ». Pour un petit rappel sur le problème en question, il se trouve que j’ai causé à ce sujet dans le billet intitulé, fort logiquement, Le problème « P est-il égal à NP ? ».

J’avoue que je ne comprends pas bien pourquoi, spécifiquement, ce papier a fait du bruit. Et par « faire du bruit », j’entends qu’il est passé plusieurs fois sur mon radar, par plusieurs sources différentes. Je ne comprends pas pourquoi, parce que des papiers qui prouvent que P = NP ou que P ≠ NP, il y en a au moins une dizaine par an – voir par exemple The P-versus-NP Page qui vise à tous les recenser. Et qu’on ne fait pas tout un pataquès tous les mois à ce sujet.

C’est bizarre, parce qu’il y a tout un tas de choses qui font que ce papier est peu crédible. Scott Aaronson a écrit des choses sur la crédibilité des articles scientifiques « révolutionnaires » : je citerai ici Ten Signs a Claimed Mathematical Breakthrough is Wrong et Eight Signs A Claimed P is not NP Proof Is Wrong. Aaronson s’intéresse plutôt aux preuves P ≠ NP, mais certains arguments sont aussi valides dans le cas des preuves P = NP.

J’avoue humblement que je n’ai pas lu le papier de Xinwen Jiang. Je ne sais pas non plus si quelqu’un (n’importe qui) a lu le papier de façon sérieuse. Je n’ai trouvé aucun article ou billet de blog disant « la preuve de Xinwen Jiang est fausse et voici pourquoi », ni d’article « meeeeerde, ça marche, son truc ». La discussion la plus fournie que j’ai vu passer est celle de Hacker News dans ce fil de discussion.

Personnellement, la raison principale pour laquelle j’ai abandonné la lecture du papier va sembler extrêmement snob. Mais le papier n’est pas écrit en \LaTeX. Du coup… ben j’ai pas eu le courage, bêtement. La mise en page est immonde, les maths sont illisibles. Je regarde ce truc et j’ai mal au crâne. Un petit morceau de moi se dit que si le type en face n’a pas pris la peine de faire en sorte que son machin soit lisible, je vois pas pourquoi je prendrais la peine de tenter de le lire. Évidemment, c’est hyper-fallacieux, comme argument. Parce que si jamais quelqu’un arrive avec une preuve qui marche, il a moyen de troller une communauté complète rien qu’en publiant sa preuve en Word 😀 Après, je peux argumenter sur le fait que j’ai jamais réussi à utiliser l’éditeur d’équations de Word de façon raisonnablement déterministe, alors que \LaTeX se comporte plutôt mieux de ce point de vue, et que j’ai donc plus confiance dans le fait qu’un papier en \LaTeX reflète effectivement ce que l’auteur voulait dire. Mais ça touche probablement à la mauvaise foi aussi.

Dans les arguments un demi-chouille plus « sérieux », mais qui touchent toujours au méta : l’auteur est tout seul, et il ne remercie aucun collègue, aucun relecteur. Sur un résultat de cette ampleur, c’est un peu bizarre. Évidemment, le concept de génie solitaire qui résout tout seul un problème qui a échappé à des milliers de chercheurs est extrêmement romantique. Mais il est aussi extrêmement peu crédible.

Troisième point : les références bibliographiques. Il y a 12 références bibliographiques dans cet article. Dix d’entre elles sont des auto-références (l’auteur fait référence à des travaux personnels précédents). La première de la liste est un bouquin très classique, genre bouquin de cours sur le sujet. Là encore, c’est douteux.

Pour finir, l’article se termine par « Until now, since 2010.10.06, more than 52 millions of instances have been generated randomly, each of which has 100 vertices. Some instances contain a simple path while others (it is the majority in all the generated instances) do not. All the results show that our polynomial time algorithm can get the same answer as the backtracking algorithm does. No exception. », ce qui se traduit par « Jusqu’à présent, depuis le 6 juin 2010, nous avons généré aléatoirement plus de 52 millions d’instances sur 100 sommets chacunes. Certaines instances contiennent un chemin simple tandis que d’autres (la majorité des instances générées) non. Tous les résultats montrent que notre algorithme polynomial ont le même résultat que l’algorithme de backtracking. Aucune exception. ». Ça pourrait sembler être un argument en faveur de la preuve. Mais il y a plusieurs choses qui sont discutables sur cet argument. Déjà, il se peut que le générateur aléatoire d’instances soit biaisé, et se trouve louper les instances pour lesquelles ça ne marche pas. D’autre part, le nombre de sommets considéré est relativement bas. Si ça se trouve, ça plante pour 1000 sommets. Ou pour 101. Tertio, il se peut que les instances « difficiles » du problème soient rares. Ça fait partie des choses qu’on ne sait pas, d’ailleurs : si P ≠ NP, les instances d’un problème NP donné pour lesquelles c’est effectivement un facteur (c’est-à-dire qui n’ont pas de caractéristique permettant de résoudre l’instance par un algorithme rapide) sont-elles rares ou fréquentes ? Quatro, l’argument « ça fait un moment que je cherche et j’ai toujours pas trouvé de truc qui fait que ça marche pas »… j’ai essayé, hein, ben souvent les gens qui corrigent mes copies sont pas pour 😀

Bref, comme dit précédemment, c’est un peu des arguments fallacieux, tout ça, parce que ça serait facile de transformer n’importe quel papier « crédible » en papier « absolument pas crédible », et là j’aurai l’air très très bête. Je ne sais pas exactement ce que je veux dire, en fait. Dans un sens, ça me gène de recourir à ce genre d’argument pour décider que « ça sent pas bon, son truc », parce qu’il y a toujours le doute, dans un coin de neurone, du « oui, mais si les apparences étaient trompeuses ? ». D’un autre côté, comme dit Aaronson, il y a suffisamment de papiers sur le sujet pour que des heuristiques de crédibilité soient nécessaires. Quelque part, c’est peut-être à relier au processus de recrutement d’un candidat. Un candidat à un job doit souvent passer par des « formes obligées » qui démontrent sa crédibilité. Et il y a probablement un certain nombre de « faux négatifs » dans tout ce processus de formes obligées. On peut le déplorer. Et, dans le cas d’une preuve P = NP, un faux négatif serait… intéressant 😀

Mais dans le cas d’une preuve P = NP, je soupçonne qu’il faille redoubler d’attention à la crédibilité du papier. L’immense majorité de la communauté scientifique est raisonnablement convaincue que P ≠ NP. Du coup, arriver en affirmant l’inverse… ben ça part pas bien, déjà. Et si « le méta pue », il y a peu de chance que quiconque prenne la peine d’examiner le papier.

Et peut-être que demain je vais me prendre une grosse baffe dans la figure parce qu’un papier dont « le méta pue » va démontrer correctement un résultat que personne n’attend. Je crois que P ≠ NP. Et quand je dis « je crois », c’est vraiment exactement ça : une croyance, peut-être même une foi. N’empêche que j’adorerais avoir tort. Ça serait profondément drôle.. Si ça se trouve, on va trouver demain un algorithme pour SAT en n¹⁰⁰⁰⁰. Ben on sera bien avancés avec ça. Les années qui suivront seraient probablement super marrantes – parce que probablement on se tirerait tous la bourre pour faire descendre ce fichu 10000, et ça finirait probablement par arriver. Ça serait marrant.

Bon, je fais quoi maintenant ?

Bon bon bon. Je commence à avoir fait un peu le tour de ce que je dont je voulais absolument parler. Pour récapituler un peu :

Maintenant, qu’est-ce que vous voulez ? J’ai plusieurs pistes, mais c’est des pistes assez différentes, alors je sais pas trop 🙂 du coup, je me dis que je peux aussi vous demander votre avis. Dans l’ordre dans lequel ça me vient à l’idée :

  • Je peux faire un peu de théorie des graphes. Un truc que j’avais en tête était d’expliquer comment chercher un plus court chemin dans un graphe, par exemple.
  • Je peux continuer sur les problèmes NP-complets. Dans les trucs que j’ai en tête, expliquer la réduction pour prouver que la 3-colorabilité est NP-complète.
  • Je peux parler de SAT. Là j’ai deux trucs faisables : je peux parler des algorithmes pour 2-SAT (qui sont simples, choupis et polynomiaux) ou d’algorithmes pour 3-SAT (et plus) qui peuvent être aussi simples à expliquer, mais moins choupis et vachement moins polynomiaux. Je reste sur le côté théorique de la question, par contre, parce que j’ai pas la moindre idée de ce qui se fait côté pratique et que je vais dire des conneries.
  • Si je parle d’algos 3-SAT, je peux probablement étendre sur ce que je fais en ce moment ; ça risque d’être vachement poilu cependant.
  • Je peux causer géométrie algorithmique, aussi, la géométrie c’est cool. Je peux parler de triangulations et de Voronoï, par exemple.
  • On peut faire des probas, dans la série des trucs cools ; si je traite le point suivant je commencerai probablement par ça.
  • Je peux causer algorithmes aléatoires, à quoi ça sert, comment ça marche, tout ça.
  • Je peux causer de problèmes « classiques » difficiles et parler d’approximation (par exemple, je suis un voleur dans un musée, je cherche à remplir mon sac à dos avec des objets de taille et de valeur variées, comment je fais pour maximiser la valeur totale de ce que j’embarque pour que ça tienne dans mon sac à dos ?)

Heu, voilà, ce sont quelques suggestions. Si vous en avez d’autres, n’hésitez pas non plus ; je ne garantis rien parce qu’écrire sur un sujet que je ne connais pas prend nécessairement beaucoup, beaucoup plus de temps et que je croule pas sous le temps ces temps-ci ; mais il est toujours possible que j’aie oublié des trucs dans ce que je pourrais traiter sans trop de problème :)

Quant aux gentils lecteurs qui auraient des idées sur certaines questions qui compléteraient mes idées à moi, ya toujours moyen de négocier si ça vous dit de venir en parler ici 😉

Donc, qu’est-ce que vous voulez ? (Et il me serait agréable que vous répondiez à cette question et que vous ne me colliez pas un vent phénoménal, merciiiii 😉 ).

Compréhension mathématique

Allez, après les billets un peu velus qu’étaient Introduction à la complexité algorithmique, 1/2 et Introduction à la complexité algorithmique, 2/2, un billet un peu plus light et un peu plus « méta », probablement. Et qui part dans le n’importe quoi, probablement aussi. Il est probable également qu’à la fin de la lecture de cet article vous soyez convaincu que je suis, dans le meilleur des cas, très exigeante avec moi-même, et dans le pire des cas que vous soyez  tentés de me passer un chouette pyjama blanc qui s’attache dans le dos 🙂

Je suis assez fascinée par le fonctionnement du cerveau humain. Pas par la manière dont il fonctionne, ça j’en sais rien, mais par le fait même qu’il fonctionne. Le concept de lire, par exemple, ça continue à m’émerveiller. J’y reviendrai sans doute à l’occasion 🙂 (parce que ça touche probablement plus à l’apprentissage qu’à la compréhension, et que c’est deux sujets connexes, mais différents). (Enfin je crois.)

Bref, je passe pas mal de temps à réfléchir à la manière dont je réfléchis, et à la manière d’améliorer la manière dont je réfléchis, ou à tenter optimiser ce que je fais pour que ça corresponde à ma manière de réfléchir. Et dans cette réflexion, j’ai en particulier redéfini ce que j’entendais par « compréhension ».

Je me limite ici explicitement à un type de compréhension bien particulier, que j’appellerai « compréhension mathématique » à défaut d’un terme plus adéquat. Je sais même pas si je peux exactement définir le terme ; alors je vais essayer d’expliquer l’impression que ça fait. Ça peut paraître bizarre de relier la compréhension aux impressions, mais en ce qui me concerne j’ai, peut-être paradoxalement, appris à faire confiance à mon ressenti pour évaluer ma compréhension des choses.

Il m’arrive fréquemment de me lamenter que je ne comprends plus aussi vite qu’avant ; je me demande dans quelle mesure ça ne vient pas du fait que je suis plus exigeante envers moi-même. Il fut une époque où ma définition de « compréhension » était au niveau de « ce que tu racontes a l’air logique, et je vois l’enchaînement logique de ce que tu fais au tableau, et je vois en gros ce que tu fais ». J’ai aussi un souvenir assez cuisant d’incidents du genre :

« Tiens, tu devrais lire cet article.
— OK.
<quelques heures plus tard>
— J’ai finiiiii !
— Déjà ?
— Bin, ouais… je lis vite…
— Et t’as tout compris ?
— Bin… ouais…
— Y compris pourquoi <point obscur mais potentiellement crucial du papier> ?
<gros blanc, soupir et explications> » (pas de mon fait, les explications.)

Évidemment, c’était complètement de la bonne foi de mon côté. J’étais persuadée d’avoir effectivement compris, avant qu’on ne me démontre que j’avais raté pas mal de choses.

Depuis, j’ai appris plusieurs choses. La première est que « comprendre vaguement » n’est pas « comprendre », du moins pas à mon propre niveau (actuel) d’exigence. C’en est la première étape. Ça peut aussi en être la dernière étape, si c’est un sujet sur lequel je peux/veux me contenter de connaissances « de surface ». J’ai probablement gagné pas mal en modestie et je dis probablement beaucoup plus souvent que je n’ai qu’une vague idée de certains sujets.

La deuxième chose, c’est que oui, comprendre, ça prend du temps. Aujourd’hui, j’estime que je commence à avoir une compréhension « correcte » (encore une fois, à mon niveau d’exigence, qui est probablement élevé) à la troisième ou quatrième lecture d’un article de recherche. En-dessous de ça, j’ai « une vague idée de ce que raconte le papier ».

La troisième chose, et ça pourtant c’est une citation qui revenait souvent à la maison, c’est que « la répétition est l’âme de l’enseignement bien compris ». Ça aide beaucoup d’avoir au moins une exposition aux notions avant de commencer quelque chose de nouveau et velu. La première exposition est une grande baffe dans la gueule, la deuxième commence à aller mieux, au bout de la troisième on commence à se trouver en terrain connu.

La quatrième chose est probablement reliée à la deuxième – « ça prend du temps ». J’ai une ode à faire à la craie et au tableau noir. Les nouvelles technologies nous ont apporté tout un tas de machins vachement chiadés, des vidéoprojecteurs, des tableaux numériques, et je crois que je vais même mettre le tableau blanc et les Velleda dans le lot. Au risque de passer pour une vilaine réactionnaire, tout ça ne vaut pas la craie et le tableau noir. Bon, OK, vert, le tableau, je concède ça. C’est plus long d’écrire une preuve au tableau que de sortir un Powerpoint (ou des slides Beamer, je suis pas sectaire dans mon rejet 😉 ) avec la preuve dessus. Donc ouais, on avance moins vite dans le cours, probablement. Mais ça laisse aussi le temps de suivre. Et, c’est très con, mais ça laisse aussi le temps de prendre des notes. Beaucoup de mes collègues de classe me disent qu’ils « préfèrent écouter que noter » (surtout que souvent, pour les cours au tableau, on a des polys qui sont en général d’excellente qualité). Pour moi, noter aide à rester concentrée, et au final à mieux écouter. Je griffonne aussi au crayon certains points de raisonnement qui seraient pas forcément évidents à la relecture. Bon, des fois, je me laisse des blagues pour les révisions, aussi – j’ai trouvé l’autre jour un joli « It’s a circle, OK? » à côté d’une figure de patatoïde. Ça m’a beaucoup fait rire. Ah, et quant au fait que ma hargne s’étende aux tableaux blancs : déjà, les feutres Velleda, ça marche jamais. En plus, des fois, ya un marqueur permanent qui vient se paumer dans le porte-feutres (et après on passe un temps dingue à repasser au feutre effaçable pour effacer). Et en plus, ça s’efface plus vite. J’ai appris à apprécier la pause induite par le nettoyage du tableau noir – la méthode « courante » chez nous est de faire deux passes, une avec un machin humide et une avec une raclette. Ça m’a vachement impressionnée la première fois que j’ai vu ça 😉 (oui, je suis très impressionnable) et depuis, je profite de la minute ou deux que ça prend pour relire ce qu’on vient de faire. Je trouve ça salutaire. Bref, le tableau et la craie, c’est la vie.

Et j’ai aussi appris à lire un article scientifique, du moins avec une méthode qui me convient à moi. En général, je fais une première passe très rapide pour avoir une idée de la structure de l’article, de quoi il parle, de la manière dont s’enchaîne la preuve principale, et j’essaie de voir s’il y a des trucs qui vont m’agacer - je commence à avoir des idées assez arrêtées sur les structures qui me facilitent ou pas la vie dans un article, et quand ça en dévie je râle un peu, même si je suppose que ces structures sont pas les mêmes pour tous. (Bon, il y a aussi des articles intrinsèquement pénibles à lire, il faut l’admettre.) Par « très rapide », j’entends entre une demi-heure et une heure pour un article d’une dizaine de pages.

Ma deuxième lecture est une lecture « d’annotations ». Je lis un peu plus en détail, et je mets des questions partout. Les questions sont en général de l’ordre du « pourquoi ? »  ou du « comment ? », sur des éléments de langage tels que « it follows that » (il suit de ce qui précède que), « obviously » (il est évident que), ou tous les trucs genre « par une simple application du théorème de Machin ». C’est aussi « relativement » rapide, parce qu’il y a beaucoup de signaux auxquels se raccrocher, et que je ne cherche pas encore à avoir une compréhension de tous les détails, mais à identifier les détails qui nécessitent que j’y passe un peu de temps pour les comprendre. Je note aussi les points qui me « gênent », c’est à dire les points où je ressens une espèce d’inconfort. C’est un peu difficile à expliquer, parce que c’est vraiment un « gut feeling », une intuition qui me dit « mmmh, là, ya un truc qui coince. Je sais pas quoi, mais ya un truc qui coince. » J’aime pas trop le terme d’intuition pour traduire « gut feeling », parce que c’est littéralement ça. Une espèce de malaise dans l’abdomen qui traduit l’inconfort.

Pendant la troisième lecture, qui est la plus longue, je m’attache à répondre aux questions de la deuxième lecture et à reprendre les calculs. Et à me convaincre, bien souvent, que oui, ce machin est bien une typo, et pas une erreur dans mon raisonnement ou mes calculs à moi. La quatrième lecture et les lectures suivantes continuent sur le même mode pour les questions auxquelles je n’ai pas répondu pendant la troisième lecture (et qui peuvent peut-être s’éclaircir entre temps).

J’estime que j’ai compris un papier quand j’ai répondu à l’immense majorité des questions posées en deuxième phase. (Et je me débrouille en général pour trouver quelqu’un de plus malin que moi pour celles qui restent en suspens). Mais même là… je sais que bien souvent, c’est pas encore parfait.

Le test ultime, c’est de préparer une présentation à propos du papier. Dans la série faites ce que je dis, pas ce que je fais, quand je fais ça, je prépare… des slides pour vidéoprojecteur. Parce que j’ai beau préférer, en tant qu’étudiante, un cours au tableau, je me rends bien compte que c’est beaucoup de boulot, et que faire une (bonne) présentation au tableau, c’est difficile. Un jour, j’essaierai – peut-être. Une fois que j’ai des slides (qui, en général, me permettent de re-débusquer quelques points obscurs), je tente de faire une présentation. Et là, on revient au « gut feeling ». Si ça bafouille, s’il y a des slides qui n’ont pas de sens, si la présentation ne se passe pas comme sur des roulettes, c’est qu’il y a probablement encore quelque chose derrière qui nécessite que j’y passe du temps.

Quand tout, finalement, finit par sembler « bien », le sentiment qui prévaut, c’est une espèce de soulagement mêlé de victoire. Je sais pas trop à quoi comparer ça. Peut-être aux gens qui font des dominos. Tu passes un temps dingue à mettre tes petits dominos l’un après l’autre, et je pense qu’au moment où le dernier tombe sans que le truc soit interrompu, ça doit être à peu près ce sentiment-là.

Évidemment, je peux pas me permettre de faire ça avec tout ce que je lis, ça prendrait trop de temps. Je sais pas s’il y a moyen d’accélérer le processus mais je pense pas que ce soit possible, au moins pour moi, de façon significative. Parce que j’ai aussi besoin de « laisser décanter » les choses. Il y a d’ailleurs pas mal d’hypothèses « fortes » sur le fait que le sommeil ait un impact important sur l’apprentissage et la mémoire ; je ne sais pas dans quelle mesure on peut étendre ça à mes histoires de compréhension, mais ça m’étonnerait pas que le cerveau en profite pour ranger et faire les connexions qui vont bien.

Du coup, c’est parfois assez frustrant de laisser les choses à un état de « compréhension partielle », surtout quand on ne sait pas exactement ce qui coince. Le « gut feeling » est là (et pas seulement à la veille de l’examen 🙂 ). C’est parfois ce qui me ferait tout laisser tomber : à quoi bon comprendre les choses à moitié ? Mais peut-être que la moitié, c’est mieux que rien du tout, quand on sait qu’il reste la moitié du chemin à parcourir. Et, parfois, quand on s’entête un peu, tout finit par cliquer ensemble. Et c’est un sentiment d’accomplissement que pas grand chose d’autre n’arrive à égaler.

Intuition mathématique

Je viens de commencer à rédiger un billet sur la complexité algorithmique, mais je me suis dit que celui-ci venait avant, parce que je ne suis pas à l’abri des tics de langages qui commencent à me venir : « intuitivement », « on voit bien que », « il est évident que ». Christophe m’a d’ailleurs fait remarquer que mon « ça me paraît assez clair » du billet sur les logarithmes (je crois que j’en ai au moins deux) n’était pas forcément des plus heureux. J’avais commencé par intituler ce billet « Compréhension, intuition et créativité », je crois que je vais me limiter au deuxième, parce que ça fait déjà un billet d’un fort beau gabarit ma foi.

J’essaie autant que possible, quand j’explique, d’éviter « l’argument d’intuition », parce que ça m’angoissait pas mal au début quand on me l’offrait et que, justement, je nageais pas mal à comprendre pourquoi c’était intuitif. Notons au passage que ça m’est encore arrivé l’autre jour en examen, de me vautrer sur le « pourquoi c’est intuitif ». Un truc qui me paraissait tellement lumineusement évident que j’en oubliais la raison profonde pour laquelle c’était évident. C’est assez agaçant quand on te le fait remarquer… surtout quand « on » est un examinateur. Mais je m’égare.

Un des articles les plus intéressants que j’ai lus sur le sujet est un article de Terry Tao, There’s more to mathematics than rigour and proofs (et oui, les plus observateurs remarqueront qu’il est en anglais 🙂 ). Il y distingue trois « stades » dans l’éducation mathématique :

  • le stade « pré-rigoureux » : on fait beaucoup d’approximations, d’analogies, et probablement plus de calculs que de théorie
  • le stade « rigoureux » : on essaie de faire les choses proprement, de façon précise et formelle, et on manipule des objets abstraits sans avoir forcément de compréhension profonde de ce qu’ils représentent (mais on les manipule correctement)
  • le stade « post-rigoureux » : on connaît suffisamment son domaine pour savoir quelles approximations et quelles analogies sont effectivement valides, on a une bonne idée rapidement de ce qu’un truc va donner quand on aura fini la preuve/le calcul, et on comprend effectivement les concepts qu’on manipule.

Je m’estime à peu près dans un mélange des trois niveaux 🙂 Je commence à avoir une certaine « intuition » (je reviendrai sur ce que je mets là-dedans), mais j’ai toujours autant de mal à mener un calcul proprement. Et, évidemment, ça dépend des domaines : dans mon domaine, je suis à peu près là ; si on me demande là tout de suite de résoudre des équadiff ou de faire de l’analyse qui tache, je vais probablement me sentir au stade pré-pré-rigoureux :)

Donc, de mon point de vue, les catégories sont évidemment plus fluides que ça, mais je crois que le message est le bon. Et qu’il faut pas paniquer quand la personne en face dit « il est évident/intuitif que » : c’est juste qu’elle a plus de pratique. Et qu’il est parfois difficile d’expliquer ce qui est devenu, avec la pratique, évident. Si je dis « il est évident que 2+3=5 », on sera probablement tous d’accord là-dessus ; si je demande « oui mais pourquoi 2+3=5 ? », on finira bien par me répondre, mais je m’attends à un blanc d’au moins quelques secondes avant ça. Je caricature un peu, mais je crois que c’est à peu près l’idée.

Dans le langage courant, l’intuition a quelque chose de magique, de « je sais pas pourquoi, mais je crois que les choses sont comme ci ou comme ça et qu’il va se passer ci ou ça ». J’ai tendance à me méfier pas mal de l’intuition dans la vie courante, parce que j’ai tendance à me méfier de ce que je ne comprends pas. En maths, la définition est à peu près la même : « je crois que le résultat va avoir cette gueule là, je sens bien que si je déroule cette preuve ça va marcher ». L’avantage de l’intuition mathématique, c’est qu’on peut la vérifier, comprendre pourquoi elle est juste, ou pourquoi elle est fausse. Dans mon expérience, l’intuition - juste - (ou ce qu’on met derrière ce mot) vient surtout avec la pratique, avec le fait d’avoir vu différentes choses, avec le fait d’avoir étudié pas mal, avec le fait de relier les choses les unes aux autres. Je pense que ce qu’on met derrière le mot « intuition », c’est le fait de relier quelque chose de nouveau (un nouveau problème) à quelque chose qu’on a déjà vu, et de faire ça correctement. C’est aussi le fait de reconnaître des « schémas » (j’utiliserais le mot « pattern » si j’écrivais en anglais). Dans le domaine de la complexité algorithmique, qui est le sujet du prochain billet en projet, c’est « je pense que cet algorithme va me prendre tant de temps, parce qu’au final c’est la même chose que celui-là qui est super connu et qui prend tant de temps ». Le truc, c’est que les associations ne sont pas toujours « conscientes » : on se retrouve à voir le résultat d’abord, et à l’expliquer après.

Ça n’empêche évidemment pas de se planter dans les grandes largeurs. Penser qu’un problème va prendre beaucoup de temps à résoudre (algorithmiquement parlant), alors qu’en fait il y a une condition qui le rend facile. Penser qu’un problème n’est pas très difficile, et se rendre compte qu’en fait il va prendre plus de temps que ce que l’on pensait. Enfin, en tous cas, à moi ça m’arrive toujours. J’estime le fait de me planter comme un progrès par rapport à l’étape précédente qui était « mais comment peut-on avoir une quelconque idée sur le sujet ? ».

Je ne sait pas comment se développe cette intuition. Je sais que la mienne est dans un bien meilleur état que ce qu’elle était il y a un an et demi. C’est suffisamment récent pour qu’il m’arrive encore de m’émerveiller sur le fait que des choses sur lesquelles je nageais à l’époque me paraissent maintenant assez naturelles.

C’est aussi suffisamment récent pour que je me rappelle l’angoisse de pas comprendre pourquoi ça peut être intuitif pour certaines personnes. Alors, promis, je vais essayer d’éviter. Mais j’aimerais bien que si jamais ça m’échappe vous me le fassiez remarquer, surtout si ça vous pose problème. Accessoirement, il y a de bonnes chances que si je dis « c’est intuitif », c’est parce que j’ai la flemme de partir dans des explications qui me semblent évidentes (mais qui ne le seraient peut-être pas pour tout le monde). Donc, voilà, je vais essayer de ne pas avoir la flemme 🙂