Intuition mathématique

Je viens de commencer à rédiger un billet sur la complexité algorithmique, mais je me suis dit que celui-ci venait avant, parce que je ne suis pas à l’abri des tics de langages qui commencent à me venir : « intuitivement », « on voit bien que », « il est évident que ». Christophe m’a d’ailleurs fait remarquer que mon « ça me paraît assez clair » du billet sur les logarithmes (je crois que j’en ai au moins deux) n’était pas forcément des plus heureux. J’avais commencé par intituler ce billet « Compréhension, intuition et créativité », je crois que je vais me limiter au deuxième, parce que ça fait déjà un billet d’un fort beau gabarit ma foi.

J’essaie autant que possible, quand j’explique, d’éviter « l’argument d’intuition », parce que ça m’angoissait pas mal au début quand on me l’offrait et que, justement, je nageais pas mal à comprendre pourquoi c’était intuitif. Notons au passage que ça m’est encore arrivé l’autre jour en examen, de me vautrer sur le « pourquoi c’est intuitif ». Un truc qui me paraissait tellement lumineusement évident que j’en oubliais la raison profonde pour laquelle c’était évident. C’est assez agaçant quand on te le fait remarquer… surtout quand « on » est un examinateur. Mais je m’égare.

Un des articles les plus intéressants que j’ai lus sur le sujet est un article de Terry Tao, There’s more to mathematics than rigour and proofs (et oui, les plus observateurs remarqueront qu’il est en anglais 🙂 ). Il y distingue trois « stades » dans l’éducation mathématique :

  • le stade « pré-rigoureux » : on fait beaucoup d’approximations, d’analogies, et probablement plus de calculs que de théorie
  • le stade « rigoureux » : on essaie de faire les choses proprement, de façon précise et formelle, et on manipule des objets abstraits sans avoir forcément de compréhension profonde de ce qu’ils représentent (mais on les manipule correctement)
  • le stade « post-rigoureux » : on connaît suffisamment son domaine pour savoir quelles approximations et quelles analogies sont effectivement valides, on a une bonne idée rapidement de ce qu’un truc va donner quand on aura fini la preuve/le calcul, et on comprend effectivement les concepts qu’on manipule.

Je m’estime à peu près dans un mélange des trois niveaux 🙂 Je commence à avoir une certaine « intuition » (je reviendrai sur ce que je mets là-dedans), mais j’ai toujours autant de mal à mener un calcul proprement. Et, évidemment, ça dépend des domaines : dans mon domaine, je suis à peu près là ; si on me demande là tout de suite de résoudre des équadiff ou de faire de l’analyse qui tache, je vais probablement me sentir au stade pré-pré-rigoureux :)

Donc, de mon point de vue, les catégories sont évidemment plus fluides que ça, mais je crois que le message est le bon. Et qu’il faut pas paniquer quand la personne en face dit « il est évident/intuitif que » : c’est juste qu’elle a plus de pratique. Et qu’il est parfois difficile d’expliquer ce qui est devenu, avec la pratique, évident. Si je dis « il est évident que 2+3=5 », on sera probablement tous d’accord là-dessus ; si je demande « oui mais pourquoi 2+3=5 ? », on finira bien par me répondre, mais je m’attends à un blanc d’au moins quelques secondes avant ça. Je caricature un peu, mais je crois que c’est à peu près l’idée.

Dans le langage courant, l’intuition a quelque chose de magique, de « je sais pas pourquoi, mais je crois que les choses sont comme ci ou comme ça et qu’il va se passer ci ou ça ». J’ai tendance à me méfier pas mal de l’intuition dans la vie courante, parce que j’ai tendance à me méfier de ce que je ne comprends pas. En maths, la définition est à peu près la même : « je crois que le résultat va avoir cette gueule là, je sens bien que si je déroule cette preuve ça va marcher ». L’avantage de l’intuition mathématique, c’est qu’on peut la vérifier, comprendre pourquoi elle est juste, ou pourquoi elle est fausse. Dans mon expérience, l’intuition - juste - (ou ce qu’on met derrière ce mot) vient surtout avec la pratique, avec le fait d’avoir vu différentes choses, avec le fait d’avoir étudié pas mal, avec le fait de relier les choses les unes aux autres. Je pense que ce qu’on met derrière le mot « intuition », c’est le fait de relier quelque chose de nouveau (un nouveau problème) à quelque chose qu’on a déjà vu, et de faire ça correctement. C’est aussi le fait de reconnaître des « schémas » (j’utiliserais le mot « pattern » si j’écrivais en anglais). Dans le domaine de la complexité algorithmique, qui est le sujet du prochain billet en projet, c’est « je pense que cet algorithme va me prendre tant de temps, parce qu’au final c’est la même chose que celui-là qui est super connu et qui prend tant de temps ». Le truc, c’est que les associations ne sont pas toujours « conscientes » : on se retrouve à voir le résultat d’abord, et à l’expliquer après.

Ça n’empêche évidemment pas de se planter dans les grandes largeurs. Penser qu’un problème va prendre beaucoup de temps à résoudre (algorithmiquement parlant), alors qu’en fait il y a une condition qui le rend facile. Penser qu’un problème n’est pas très difficile, et se rendre compte qu’en fait il va prendre plus de temps que ce que l’on pensait. Enfin, en tous cas, à moi ça m’arrive toujours. J’estime le fait de me planter comme un progrès par rapport à l’étape précédente qui était « mais comment peut-on avoir une quelconque idée sur le sujet ? ».

Je ne sait pas comment se développe cette intuition. Je sais que la mienne est dans un bien meilleur état que ce qu’elle était il y a un an et demi. C’est suffisamment récent pour qu’il m’arrive encore de m’émerveiller sur le fait que des choses sur lesquelles je nageais à l’époque me paraissent maintenant assez naturelles.

C’est aussi suffisamment récent pour que je me rappelle l’angoisse de pas comprendre pourquoi ça peut être intuitif pour certaines personnes. Alors, promis, je vais essayer d’éviter. Mais j’aimerais bien que si jamais ça m’échappe vous me le fassiez remarquer, surtout si ça vous pose problème. Accessoirement, il y a de bonnes chances que si je dis « c’est intuitif », c’est parce que j’ai la flemme de partir dans des explications qui me semblent évidentes (mais qui ne le seraient peut-être pas pour tout le monde). Donc, voilà, je vais essayer de ne pas avoir la flemme 🙂

5 commentaires sur « Intuition mathématique »

    1. C’était pas un très bon exemple, je crois. Quand je l’ai écrit, j’avais en tête « si t’as 3 bonbons et que je te donne 2 bonbons, t’as 5 bonbons ». Mais ça prouve pas grand chose, probablement parce que ça tient plus de l’axiome que d’autre chose, je suppose. Mais bon, c’est comme ça qu’on l’expliquerait à un enfant, je suppose.

  1. Plein de bonnes idées là-dedans.
    Remarques en vrac :

    * 2+3 = 5 : l’explication à un enfant est la bonne, mais plus fondamentalement, ça dépend de tes définitions de 2,3,5 et + 🙂 On pourrait évoquer la base 3 qui ne serait qu’une manière différente d’encoder les mêmes concepts, mais en fait c’est le « + » qui recèle le plus de sous-entendus.

    * Fondamentalement d’ailleurs, la définition des entiers n’est pas immédiate. Je me souviens même qu’en Maths Sup, notre prof de maths nous a refait toute la construction des maths depuis les tables de vérité jusqu’aux espaces vectoriels infinis en passant par les intégrales multiples SAUF pour ce qui est de définir les entiers.

    * D’ailleurs les maths récentes (150 dernières années) se sont beaucoup creusé le ciboulot pour savoir ce qui était « intuitif » ou pas, ou si même on avait le droit de concevoir que des choses étaient intuitives. Au final, les axiomes de base de la logique et des maths (théorie des ensembles)… n’est pas si intuitive que ça 😉 On ne sait même pas vraiment si on a le « droit » d’utiliser l’axiome du choix en fait.
    (Voir une bonne BD là-dessus, Logicomix, un peu frustrante car ne fait qu’effleurer le sujet ; se perdre dans Wikipédia après.)

    * Mais tu utilises plus « intuition » pour : « devinette basée sur l’expérience et la manipulation ». De la même manière que je conduis une voiture sans réfléchir, ou que certaines incantations analytiques en SQL me semblent triviales : notre cerveau a une fabuleuse capacité à faire passer certains raisonnements souvent répétés en « sous-marin », bref à ne plus les faire apparaître au niveau conscient (qui comme on le sait , est toujours le dernier au courant de ce qui se passe dans le cerveau : « comprendre d’abord, expliquer après »).

    * Je suppose que cette faculté a un gros rapport avec notre capacité à reconnaître les formes. Et comme toute reconnaissance de formes, elle peut se planter (illusions d’optique, formes imaginaires dans les nuages…). Donc notre intuition n’est pas fiable.

    * Ajoutons que l’expérience est aussi une affaire d’entraînement et de rapidité, et que la rapidité à analyser un problème permet parfois des sauts qualitatifs : on n’itait pas bien loin si à chaque nouveau problème on devait à nouveau compter sur ses doigts, rechercher les définitions de certains concepts, retrouver des règles de syntaxe. La mémoire d’un cerveau est importante car c’est comme la mémoire de travail d’un processeur.

    * Quand tu dis « C’est aussi suffisamment récent pour que je me rappelle l’angoisse de pas comprendre pourquoi ça peut être intuitif pour certaines personnes. » ça me rappelle mon grand-père, ancien instituteur : il disait qu’il était nul en maths, donc il savait l’expliquer à des enfants car il savait ce qui « bloquait ». Alors que quelqu’un de plus doué ou précoce a intégré les concepts tellement profondément qu’il ne se souvient plus de ce qui n’est pas évident. Je peux posément expliquer le SQL à un novice, pas l’addition.

    1. Yowza, ça c’est du commentaire 🙂

      Pour le 2+3 = 5, on est d’accord. Et c’est aussi pour ça que c’était pas un très bon exemple. Sauf peut-être sur le fait qu’on « comprend » ce qui est derrière le +.

      Et oui, la définition des entiers, c’est encore un autre problème. D’ailleurs je crois qu’on s’en sort en disant « c’est comme ça » (axiomes de Peano).

      Je viens de coller Logicomix sur ma pile à lire, merci 🙂

      Le parallèle avec la conduite est intéressant, j’y avais pas pensé 🙂 Idem pour les illusions d’optique. Ou les illusions cognitives, d’ailleurs, voir ce que Kahneman dans Thinking, Fast and Slow a à dire sur le sujet.

      Bonne remarque aussi sur le fait qu’encore heureux qu’on ait de la mémoire, et qu’il ne faille pas réinventer la roue à chaque fois.

      Pour le fait d’expliquer des choses, je sais pas trop. Déjà, parce que ce qui me bloque moi n’est pas forcément universel (et inversement). D’autre part, et c’est un truc que j’ai l’intention de développer dans un prochain billet, le meilleur indicateur que j’ai d’avoir compris quelque chose, c’est d’être capable de le présenter sans avoir d’inconfort, nulle part. Mais j’inverse le problème, la question n’étant pas mon propre inconfort, mais celui de l’audience… 🙂

      1. Sur ton excellent dernier point : « ce qui ce conçoit bien s’énonce clairement, et les mots pour le dire viennent aisément. » Si tu maîtrises bien un concept après avoir sué dessus, tu peux expliquer clairement pourquoi ci et comment ça. Et te forcer à l’expliquer t’oblige à le revoir sous un autre angle, à en explorer toutes les coutures. C’est aussi pour ça que séparer enseignement et recherche est une mauvaise idée.

        Quant à l’audience, évidemment elle doit être adaptée au prof et au sujet et vice-versa.

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