Intuition mathématique

Je viens de commencer à rédiger un billet sur la complexité algorithmique, mais je me suis dit que celui-ci venait avant, parce que je ne suis pas à l’abri des tics de langages qui commencent à me venir : « intuitivement », « on voit bien que », « il est évident que ». Christophe m’a d’ailleurs fait remarquer que mon « ça me paraît assez clair » du billet sur les logarithmes (je crois que j’en ai au moins deux) n’était pas forcément des plus heureux. J’avais commencé par intituler ce billet « Compréhension, intuition et créativité », je crois que je vais me limiter au deuxième, parce que ça fait déjà un billet d’un fort beau gabarit ma foi.

J’essaie autant que possible, quand j’explique, d’éviter « l’argument d’intuition », parce que ça m’angoissait pas mal au début quand on me l’offrait et que, justement, je nageais pas mal à comprendre pourquoi c’était intuitif. Notons au passage que ça m’est encore arrivé l’autre jour en examen, de me vautrer sur le « pourquoi c’est intuitif ». Un truc qui me paraissait tellement lumineusement évident que j’en oubliais la raison profonde pour laquelle c’était évident. C’est assez agaçant quand on te le fait remarquer… surtout quand « on » est un examinateur. Mais je m’égare.

Un des articles les plus intéressants que j’ai lus sur le sujet est un article de Terry Tao, There’s more to mathematics than rigour and proofs (et oui, les plus observateurs remarqueront qu’il est en anglais 🙂 ). Il y distingue trois « stades » dans l’éducation mathématique :

  • le stade « pré-rigoureux » : on fait beaucoup d’approximations, d’analogies, et probablement plus de calculs que de théorie
  • le stade « rigoureux » : on essaie de faire les choses proprement, de façon précise et formelle, et on manipule des objets abstraits sans avoir forcément de compréhension profonde de ce qu’ils représentent (mais on les manipule correctement)
  • le stade « post-rigoureux » : on connaît suffisamment son domaine pour savoir quelles approximations et quelles analogies sont effectivement valides, on a une bonne idée rapidement de ce qu’un truc va donner quand on aura fini la preuve/le calcul, et on comprend effectivement les concepts qu’on manipule.

Je m’estime à peu près dans un mélange des trois niveaux 🙂 Je commence à avoir une certaine « intuition » (je reviendrai sur ce que je mets là-dedans), mais j’ai toujours autant de mal à mener un calcul proprement. Et, évidemment, ça dépend des domaines : dans mon domaine, je suis à peu près là ; si on me demande là tout de suite de résoudre des équadiff ou de faire de l’analyse qui tache, je vais probablement me sentir au stade pré-pré-rigoureux :)

Donc, de mon point de vue, les catégories sont évidemment plus fluides que ça, mais je crois que le message est le bon. Et qu’il faut pas paniquer quand la personne en face dit « il est évident/intuitif que » : c’est juste qu’elle a plus de pratique. Et qu’il est parfois difficile d’expliquer ce qui est devenu, avec la pratique, évident. Si je dis « il est évident que 2+3=5 », on sera probablement tous d’accord là-dessus ; si je demande « oui mais pourquoi 2+3=5 ? », on finira bien par me répondre, mais je m’attends à un blanc d’au moins quelques secondes avant ça. Je caricature un peu, mais je crois que c’est à peu près l’idée.

Dans le langage courant, l’intuition a quelque chose de magique, de « je sais pas pourquoi, mais je crois que les choses sont comme ci ou comme ça et qu’il va se passer ci ou ça ». J’ai tendance à me méfier pas mal de l’intuition dans la vie courante, parce que j’ai tendance à me méfier de ce que je ne comprends pas. En maths, la définition est à peu près la même : « je crois que le résultat va avoir cette gueule là, je sens bien que si je déroule cette preuve ça va marcher ». L’avantage de l’intuition mathématique, c’est qu’on peut la vérifier, comprendre pourquoi elle est juste, ou pourquoi elle est fausse. Dans mon expérience, l’intuition - juste - (ou ce qu’on met derrière ce mot) vient surtout avec la pratique, avec le fait d’avoir vu différentes choses, avec le fait d’avoir étudié pas mal, avec le fait de relier les choses les unes aux autres. Je pense que ce qu’on met derrière le mot « intuition », c’est le fait de relier quelque chose de nouveau (un nouveau problème) à quelque chose qu’on a déjà vu, et de faire ça correctement. C’est aussi le fait de reconnaître des « schémas » (j’utiliserais le mot « pattern » si j’écrivais en anglais). Dans le domaine de la complexité algorithmique, qui est le sujet du prochain billet en projet, c’est « je pense que cet algorithme va me prendre tant de temps, parce qu’au final c’est la même chose que celui-là qui est super connu et qui prend tant de temps ». Le truc, c’est que les associations ne sont pas toujours « conscientes » : on se retrouve à voir le résultat d’abord, et à l’expliquer après.

Ça n’empêche évidemment pas de se planter dans les grandes largeurs. Penser qu’un problème va prendre beaucoup de temps à résoudre (algorithmiquement parlant), alors qu’en fait il y a une condition qui le rend facile. Penser qu’un problème n’est pas très difficile, et se rendre compte qu’en fait il va prendre plus de temps que ce que l’on pensait. Enfin, en tous cas, à moi ça m’arrive toujours. J’estime le fait de me planter comme un progrès par rapport à l’étape précédente qui était « mais comment peut-on avoir une quelconque idée sur le sujet ? ».

Je ne sait pas comment se développe cette intuition. Je sais que la mienne est dans un bien meilleur état que ce qu’elle était il y a un an et demi. C’est suffisamment récent pour qu’il m’arrive encore de m’émerveiller sur le fait que des choses sur lesquelles je nageais à l’époque me paraissent maintenant assez naturelles.

C’est aussi suffisamment récent pour que je me rappelle l’angoisse de pas comprendre pourquoi ça peut être intuitif pour certaines personnes. Alors, promis, je vais essayer d’éviter. Mais j’aimerais bien que si jamais ça m’échappe vous me le fassiez remarquer, surtout si ça vous pose problème. Accessoirement, il y a de bonnes chances que si je dis « c’est intuitif », c’est parce que j’ai la flemme de partir dans des explications qui me semblent évidentes (mais qui ne le seraient peut-être pas pour tout le monde). Donc, voilà, je vais essayer de ne pas avoir la flemme 🙂