Probabilités – Partie 2

Bon. Donc, je vous ai lâchement abandonnés après une première partie sur les probabilités, et puis ça fait un peu trois mois. Mes excuses. On va quand même reprendre comme si de rien n’était, parce que c’est mon blog et que je fais ce que je veux.

Donc, aujourd’hui, c’est raviolisvariables aléatoires. Le concept des variables aléatoires, c’est de réussir à faire des trucs qui se tiennent à peu près quand on ne sait pas exactement ce qui se passe (par exemple on jette un dé) – mais qu’on veut quand même avoir une idée de ce qui peut se passer. Dans le cas d’un seul dé, c’est peut-être un peu overkill, mais gardons les exemples simples pour l’instant.

L’idée, c’est qu’on prend une variable, mettons X, et qu’on considère toutes les valeurs qu’elle peut avoir, avec la probabilité associée. Pour reprendre les exemples de la partie 1, on peut par exemple définir une variable aléatoire sur la valeur d’un dé à six faces, et appeler ça X. Pour que ma définition soit complète, il faut que j’énonce toutes les valeurs possibles de X : si j’ai un dé à 6 faces, ben ça sera les valeurs de 1 à 6, et il faut que je dise quelle probabilité a chaque valeur : pour un dé non pipé, toutes ces probabilités sont égales à 1/6. On peut écrire ça rapidement comme ça :

\forall i \in \{1,2,3,4,5,6\}, \Pr[X = i] = \frac 1 6

Ça se lit « Pour tout élément i de l’ensemble {1,2,3,4,5,6}, la probabilité que X soit égal à i est égale à 1/6 ». On dit aussi que l’ensemble des valeurs qu’une variable aléatoire X est le domaine de X.

Un truc qu’on fait très, très souvent avec des variables aléatoires, c’est de calculer leur espérance. L’espérance d’une variable aléatoire, on peut voir ça comme sa valeur moyenne, ou comme un « si je lance mon dé 1000 fois, et que je fais la moyenne de tous mes résultats (somme des résultats divisée par 1000), qu’est-ce que je m’attends à avoir comme nombre ? ». Notons que l’explication que je donne là n’est pas très rigoureuse, mais j’espère qu’elle donne une idée de la chose.

Il se trouve qu’on peut calculer cette espérance (notée E[X]) de façon assez simple avec la formule suivante :

E[X] = \sum_{i} \Pr[X = i] \times i

ce qui se lit « somme pour tous les éléments i de i fois la probabilité que X soit égal à i ». Bon, ma définition n’est pas tout à fait correcte, parce que je ne définis pas ce sur quoi la somme se fait exactement. Pour corriger ça, je m’en vais faire ça de ce pas : je fais la somme sur tout le domaine de X. On va prendre un exemple, parce que je sens que ça va aider. Si je reprends mon exemple précédent avec mon dé, le domaine c’est {1,2,3,4,5,6}, donc j’ai

E[X] = \sum_{i = 1}^6 \Pr[X = i] \times i

et ça je peux l’étendre comme ça :

E[X] = 1 \times \Pr[X = 1] + 2 \times \Pr[X = 2] + 3 \times \Pr[X = 3] + 4 \times \Pr[X = 4] + 5 \times \Pr[X = 5] + 6 \times \Pr[X = 6]

Comme, dans le cas de mon dé, toutes les probabilités sont égales à 1/6, je conclus par

E[X] = \frac 1 6 \times (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) = \frac{21}{6} = 3.5

Bon, maintenant, on va prendre un exemple un peu plus compliqué. Supposons que je lance n dés, et que je m’intéresse au nombre de 6 qu’il y a dans mes n dés. Déjà, je vous pose la question : d’après vous, si je lance n dés, combien de 6 y aura-t-il ? Évidemment, c’est difficile de répondre exactement. Par contre, on peut se dire qu’il n’y a pas vraiment de raison qu’il y ait plus ou moins de 6 que de 1, de 2, de 3, de 4 ou de 5, et que globalement les dés devraient se répartir à peu près équitablement dans les 6 nombres, et que donc il y aurait à peu près 1/6 n six sur mes n dés. (Bon, sauf quand on joue les orks à Warhammer 40k, là il y a à peu près 3 six sur 140 dés). Donc, on va essayer de prouver ça un peu proprement.

Donc, je définis Y comme la variable aléatoire « nombre de six sur n dés ». Et là, ben on est bien avancés. Le domaine de Y, c’est tous les nombres de 0 à n. Je peux réussir à trouver la probabilité d’avoir, par exemple, exactement 3 dés avec la valeur 6 sur mes n dés, et même une formule générale pour k dés, mais faire la somme de tout ça, ben j’ai un peu la flemme. Alors, je vais ruser.

Ya un truc super pratique qui s’appelle la linéarité de l’espérance qui dit que l’espérance de la somme de plusieurs variables est égale à la somme de l’espérance des variables en question. En plus compact :

E[A + B] = E[A] + E[B]

Ça, c’est vrai pour toutes les variables aléatoires A et B. Par contre, attention, c’est assez spécifique à l’addition en général. Par exemple, on ne peut pas, en général, dire que E[A \times B] = E[A] \times E[B] – c’est vrai, en particulier, si les variables aléatoires A et B sont indépendantes, mais ce n’est pas vrai en général. Fin de l’aparté.

Et donc, la ruse, là, c’est de définir n variables, qu’on va appeler Y_1, Y_2, ..., Y_n, et on va se débrouiller pour que la variable Y soit la somme de toutes ces variables. Et pour ça, on définit chaque variable Y_1 comme suit : elle a pour domaine {0,1} (c’est-à-dire qu’elle ne peut prendre que la valeur 0 ou 1), et elle a la valeur 1 exactement lorsque le dé numéro 1 a la valeur 6. On définit les valeurs suivantes de la même manière. Puisque j’ai n variables, et qu’elles ont la valeur 1 quand le dé qui leur correspond vaut 6, je peux écrire que

Y = \sum_{i = 1}^{n} Y_i

Et, par linéarité de l’espérance, du coup, j’ai

E[Y] = E[\sum_{i=1}^n Y_i] = \sum_{i=1}^n E[Y_i]

L’astuce, c’est que mes variables Y_i, elles sont vachement plus simples. Avec une probabilité 1/6, elles ont la valeur 1, et avec une probabilité 5/6, elles ont la valeur 0 (puisqu’avec une probabilité 1/6, le dé i a la valeur 6). Du coup, l’espérance de Y_i, elle est aussi vachement plus simple à calculer :

E[Y_i] = 1 \times \frac 1 6 + 0 \times \frac 5 6 = \frac 1 6

et ça, ben ça me donne directement l’espérance de Y :

E[Y] = \sum_{i=1}^n E[Y_i] = \sum_{i=1}^n \frac 1 6 = \frac 1 6 n

comme intuité au départ. Fou, non ?

Bon, évidemment, mes exemples là sont plutôt simples. Mais on peut utiliser le même genre d’outils dans des cas beaucoup plus compliqués. Et il existe tout un tas d’autres outils qui permettent d’évaluer des choses autour de variables aléatoires, et d’avoir une assez bonne idée de ce qui se passe, même quand on jette des dés. Il est probable que j’y revienne si/quand j’en aurai besoin, mais les bases sont là ! Des questions ? 🙂

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