Pouf pouf, un petit billet vite fait pour pouvoir y faire référence plus tard – je suis en train de faire un autre monstro-billet, et je me suis rendue compte que j’avais besoin des éléments suivants pour faire un truc qui tienne à peu près debout, donc hop, un deuxième billet ! Je vais causer ici de deux outils fondamentaux dans la « boîte à outils » nécessaire pour prouver des trucs : le raisonnement par récurrence et le raisonnement par l’absurde. Ce sont des outils qui sont présentés et utilisés au moins au lycée (du moins de mon temps 😉 ), et qu’on retrouve à longueur de temps, partout, donc autant expliquer comment ça marche.

Le raisonnement par récurrence

Le principe du raisonnement par récurrence, c’est les dominos. Pas ceux avec des points, ceux qu’on fait tomber. On sait que si on fait tomber un domino, le suivant tombe aussi. Et on fait tomber le premier domino. Du coup, tous les dominos tombent.

Pour le raisonnement par récurrence, c’est pareil. On a une propriété qui dépend d’un entier, et on veut prouver qu’elle est vraie pour n’importe quel entier. Donc ce qu’on fait, c’est qu’on commence par montrer qu’elle est vraie pour un petit entier, genre 0, 1, 2 (parfois les cas pour 0 ou 1 n’ont pas beaucoup de sens). Et on montre que si elle est vraie pour un entier k, alors elle est vraie aussi pour un entier k+1. Du coup, on a le « départ » des dominos (« c’est vrai pour 0 ») et le « chaînage » des dominos (« si c’est vrai pour n, c’est vrai pour n+1 ») ; et si ces deux conditions là sont vraies, alors tous les dominos se cassent la gueule (« la propriété est vraie pour tous les entiers à partir de celui qu’on utilise comme cas de base »).

Là, je suis un peu embêtée, parce que j’ai un exemple qui marche, mais la preuve est assez nulle par rapport à une autre, qui est plus jolie. Donc je vais montrer les deux 🙂 Je veux démontrer que la somme des entiers de 1 à n est égale à n(n+1)/2, pour n’importe quel n. Je commence par n = 1 : j’ai bien 1(1+1)/2 = 2/2 = 1, donc l’hypothèse de base est vraie.

Ensuite, je suppose que c’est vrai pour un entier k, c’est à dire que la somme des entiers de 1 à k est égale à k(k+1)/2. Maintenant, je calcule la somme des entiers de 1 à k+1 : 1 + 2 + 3 + … + (k-1) + k + (k+1), c’est égal à la somme des entiers de 1 à k, plus (k+1). Par hypothèse de récurrence, c’est égal à k(k+1)/2 + k+1 = (k² + k + 2k + 2)/2 = (k² + 3k + 2)/2. Pour que ma preuve fonctionne, je veux que la somme des entiers de 1 à k+1 soit égale à (k+1)(k+2)/2. Et il se trouve que (k+1)(k+2), ça fait précisément k² + 3k + 2.

J’ai donc mon hypothèse de base, mon étape de récurrence, et j’ai prouvé ce que je voulais prouver.

Pour le fun, la preuve que je préfère sur cette égalité, c’est celle-ci : on considère un tableau à deux lignes et n colonnes :

1  2   3   4 ... n-2 n-1 n
n n-1 n-2 n-3     3   2  1

et on additionne les deux lignes. Chaque colonne vaut n+1 : c’est le cas pour la première colonne, et à chaque étape, on ajoute 1 à la première ligne et on enlève 1 à la deuxième ligne, donc la somme reste identique. (Quelque part, ici, je fais du raisonnement par récurrence sans vraiment le dire !). J’ai n colonnes, donc si j’additionne tous ces résultats, ça fait n(n+1). Et si je fais la somme dans l’autre sens, la première ligne est égale à la somme des entiers de 1 à n, la deuxième ligne aussi… donc mon n(n+1), c’est aussi deux fois la somme des entiers de 1 à n.

Le raisonnement par l’absurde

Le raisonnement par l’absurde est parfois un peu dangereux/délicat, parce qu’il est parfois utilisé à tort et à travers. Admettons que je veuille prouver qu’une phrase A est vraie. L’idée du raisonnement par l’absurde, c’est de partir du principe que A est faux, de dérouler une suite d’arguments impliqués par le fait que A est faux, et d’arriver à quelque chose qu’on sait être impossible. Si le fait que A est faux implique que quelque chose d’impossible arrive, c’est que A est vrai, sinon l’univers se casse la gueule et ça fait désordre.

Mon exemple préféré, c’est de démontrer que est irrationnel, c’est à dire qu’on ne peut pas l’écrire sous la forme avec p et q des nombres entiers.

J’ai besoin d’une toute petite preuve au passage : j’affirme que si un entier n est pair, alors son carré n² est pair, et que si n² est pair, alors n est pair. Si n est pair, je peux l’écrire comme n = 2k, et donc n² = 4k² = 2 × 2k², donc n² est pair. Si n est impair, je peux l’écrire comme n = 2k+1, donc n² = 4k² + 2k + 1 = 2(2k² + k) + 1, donc n² est impair. Donc si n² est pair, il ne peut pas arriver que n soit impair (parce que sinon n² serait impair aussi), donc n est pair.

Donc, supposons qu’on puisse écrire . On peut aussi supposer que la fraction est irréductible, parce que si elle ne l’est pas, on peut la réduire pour qu’elle le soit (rappel : une fraction est irréductible s’il n’existe pas d’entier k tel que p et q soient tous les deux divisibles par k. Si k existe, on divise p et q par k, et on considère la fraction ). Donc, je peux écrire que . Je mets tout au carré, et j’obtiens que 2q² = p². Comme q est entier, q² est entier aussi, et donc p² est pair (puisque c’est deux fois un nombre entier). Mais si p² est pair, alors p est pair aussi, d’après ma preuve auxiliaire. Donc je peux écrire p = 2k, et donc p² = 4k². Mais du coup, comme 2q² = p² = 4k², je peux écrire que q² = 2k², et donc q² est pair, et q est pair. Mais ça, c’est pas possible : la fraction est irréductible, donc p et q ne peuvent pas être pairs en même temps ! Donc, j’ai un truc qui ne va pas dans mon raisonnement, et ce truc, c’est mon hypothèse initiale, c’est-à-dire que est rationnel. Donc, est irrationnel. Joli, non ?