TPA – Planarité, mineurs et donuts

Pour le premier Théorème à Périodicité Aléatoire, on va parler de graphes, et on va faire des petits dessins. Un graphe est un ensemble de sommets reliés entre eux par des arcs. Pour décrire un graphe, je peux par exemple dire « il a les sommets 1, 2, 3, 4 et 5, et des arcs entre les sommets 1 et 2, 2 et 3, 3 et 4, 4 et 1, 1 et 3, 2 et 4, 1 et 5, et 4 et 5 ». Je peux aussi décider de le dessiner sur une feuille de papier, et je peux dessiner ça de plusieurs manières : tous les dessins, là, sont une représentation de ce graphe.

wagner1

Dans ces trois représentations, deux sont dites planes : le graphe est dessiné de façon à ce que les arcs du graphe ne se croisent pas. La première représentation n’est pas plane : les arcs 1-3 et 2-4 se croisent. Un graphe qui peut être dessiné dans le plan (c’est-à-dire sur une feuille de papier plate) sans que deux arcs se croisent est un graphe planaire. Le fait qu’on ait un adjectif pour ça devrait vous faire dire qu’il existe des graphes non planaires, c’est-à-dire qu’on ne peut pas dessiner dans le plan sans croiser deux arcs. Deux exemples classiques (et utiles pour la suite) de ce type de graphes sont le graphe complet sur 5 sommets (je prends 5 sommets et j’ajoute tous les arcs possibles), qu’on appelle en abrégé K_5, et le graphe bipartite complet sur 3×2 sommets (je prends deux groupes A et B de trois sommets et j’ajoute tous les arcs possibles entre les sommets du groupe A et les sommets du groupe B), qu’on appelle en abrégé K_{3,3}. En voici des représentations dans le plan ; comme on l’a vu, ces représentations ne sont pas uniques, mais vous pouvez chercher longtemps avant de trouver une représentation où deux arcs ne se croisent pas.

k5k33

Et le théorème suivant, dû à Wagner en 1937, dit que si un graphe n’est pas planaire, c’est parce que, quelque part dans sa structure, on trouve un truc qui ressemble à K_5 ou à K_{3,3}. Plus précisément :

Un graphe est planaire si et seulement s’il ne contient le mineur K_5 ni le mineur K_{3,3}.

Je triche un peu, parce que je n’ai pas encore défini la notion de mineur. Donc, définissons :

Un mineur d’un graphe G est un graphe obtenu à partir de G en effectuant zéro ou plusieurs suppression d’arc, suppression de sommet ou contraction d’arc.

Supprimer un arc, c’est facile : si deux points sont reliés par un arc, on peut décider qu’en fait non, et supprimer l’arc. Supprimer un sommet, c’est facile aussi : on choisit un sommet, on le supprime, et on supprime aussi tous les arcs qui y sont reliés, parce que sinon on sait pas où ils vont de toute façon. La notion de contraction est un tout petit peu plus sioux. L’idée, c’est qu’on prend deux sommets reliés par un arc, et qu’on les transforme en un seul sommet. Le sommet résultant est attaché à tous les arcs qui étaient dans le graphe précédent. On peut imaginer qu’on « pince » deux sommets qui se rapprochent, qui se rapprochent, qui se rapprochent et POUF qui n’en font plus qu’un. Un petit exemple, dans lequel je contracte l’arc rouge et dans lequel j’obtiens le sommet rouge :

contraction

Donc, en gros, ce que Wagner dit, c’est que « si je bricole mon graphe un peu et que j’arrive à faire apparaître K_5 ou K_{3,3}, alors je ne peux pas dessiner le graphe sans croisement. Par contre, si je ne peux pas faire apparaître K_5 ou K_{3,3}, alors je peux dessiner le graphe sans croisement. »

Il se trouve qu’il existe un théorème qui généralise cette idée de « mineurs exclus » – c’est un théorème de Robertson et Seymour dont la preuve prend… 20 articles, publiés de 1983 à 2004. Le théorème s’énonce comme suit :

Toute famille de graphe fermée pour les mineurs peut être décrite par un ensemble fini de mineurs exclus.

Explications : une famille de graphes fermée pour les mineurs, c’est un ensemble de graphes tels que, si je prends un graphe quelconque de cet ensemble, que j’en prends un mineur (avec la définition précédemment donnée), alors le mineur est aussi dans la famille en question. Ce que Robertson et Seymour disent, c’est que dans une famille comme ça, il existe un ensemble fini de mineurs exclus, c’est-à-dire que si on trouve ce mineur dans un graphe, alors le graphe ne fait pas partie de la famille.

Appliquons ça à l’exemple des graphes planaires. Les graphes planaires sont une famille de graphes fermée pour les mineurs : si je prends un mineur d’un graphe planaire, je peux toujours dessiner le mineur en question dans le plan sans avoir de croisement d’arc. Et les mineurs exclus sont K_5 et K_{3,3} : si je trouve ces mineurs dans le graphe, le graphe n’est pas planaire. Wagner est plus « puissant » que Robertson & Seymour pour les graphes planaires, parce qu’il donne les mineurs exclus explicitement.

Là où ça devient drôle, c’est qu’en général, on ne connaît pas les mineurs exclus en question. On sait qu’ils existe, on sait qu’il y en a un nombre fini, mais on ne sait pas quelle tête ils ont. Un petit exemple pour terminer : supposons que je veuille dessiner mon graphe non pas sur une feuille de papier, mais sur un tore – un donut, si ça vous parle plus.

donutL’idée, ça serait que je dessine des points sur mon donut, et que je les relie avec des arcs, exactement comme je le fais dans le plan. Si je fais ça, et que j’arrive à dessiner mon graphe sans croiser d’arcs, j’ai un graphe non pas planaire, mais toroïdal (ou donutidal, si vous voulez). La famille des graphes toroïdaux est fermée pour les mineurs, donc il existe une famille de mineurs exclus pour cette famille. Jusqu’à présent, on en a trouvé plus de 16 000. Et on ne sait pas combien il y en a au total. Amusant, non ?

(Et si vous voulez essayer de tous les trouver, je crois qu’il faut commencer par faire des donuts 😉 )

2 commentaires sur « TPA – Planarité, mineurs et donuts »

  1. Hello,

    Très intéressant 🙂

    Une petite remarque : sur la figure du haut, sur la représentation du milieu, il manque l’arc entre 2 et 4 et il y a _deux_ arcs entre 1 et 3 😉

    Ça me fait marrer, tu as dit « sioux ». Visiblement, les djeunz ne comprennent plus : il y a quelques années en cours, je me suis retrouvé à dire quelque-chose comme « ce truc est un peu sioux ». Là, j’ai senti un flottement chez les étudiants. Au bout d’un moment, l’un d’entre eux a levé la main timidement : « mais qu’est-ce que ça veut dire, ‘sioux’ ? »

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